Light of Mathematics: 2018

DEFINISI GARIS

Garis adalah barisan titik-titik secara kontinu yang membentuk satu kesatuan segmen ?

Sebuah garis dalam bidang atau ruang dapat dinyatakan dalam suatu persamaan garis. Suatu garis lurus dapat dinyatakan dalam persamaan garis lurus. Demikian juga untuk garis lengkung dapat dinyatakan dalam persamaan garis lengkung.

PERSAMAAN GARIS LURUS

Persamaan parametrik adalah metode mendefinisikan hubungan menggunakan parameter, misalnya marameter t dimana t adalah skalar.

Pada gambar di bawah ini adalah garis yang melalui titik P₀(x₀,y₀,z₀) dan sejajar dengan vektor v = ai + bj + ck. Untuk menentukan persamaan garis l, diambil sembarang titik P (x,y,z) pada

Garis l, maka garis P₀P sejajar dengan vektor v dan dapat kita katakan garis P₀P = t.v dengan t bilangan real. Jika vektor-vektor posisi P₀dan P terhadap 0 adalah r₀= <x,y,z> , maka P₀P = r-r₀dan karena P₀P = t.v maka

r-r₀= t.v

r = r₀ + t.v

Karena r adalah vektor posisi sebarang titik P pada garis l dan memenuhi persamaan terakhir, maka setiap titik P pada garis l akan memenuhi persamaan tersebut. Dengan kata lain, persamaan garis l yang memenuhi P₀(x₀,y₀,z₀) dan sejajar vektor v = <a,b,c> adalah

Persamaan vektor garis I

Atau < x, y, z > = < x_0,y_0,z₀> + t < a, b, c >

< x, y, z > = < x₀+ ta, y₀+ tb, z₀ + tc >

Persamaan parametrik ( kanonik) dari garis I

Apa bila parameter dari persamaan parametric ini dihilangkan, maka diperoleh :

Disebut persamaan simetrik dari garis

dengan bilangan arah a, b, c dan melalui titik (x0,y0,z0)

Persamaan itu terdiri dari dua persamaan, yaitu :

Contoh 1

Tentukan persamaan-persamaan vector para metric dan simetrik untuk garis yang melalui titikA(3,-2,4) dan B(5,6,-2)

Jawab :

Sebuah vector yang sejajar dengan garis AB adalah v= tAB = t (5-3,6-(-2),-2-4) = t(2,8,-6) dipilih r₀= OA= (3,-2,4) dan r sebarang vector posisi titik (x,y,z), maka persamaan vector garis AB adalah

r = r₀ + tAB

(x,y,z) = (3,-2,4) + t (2,8,-6)

Persamaan parametriknya adalah

xi + yj + zk = 3i – 2j + 4k + ( 2i + 8j – 6k) t

xi + yj + zk = 3i – 2j + 4k + 2it + 8jt – 6kt

xi + yj + zk = (3 – 2t)i + (-2 + 8t)j + (4-6t)k

x = 3 + 2t, y =-2 + 8t, z = 4 – 6t

Contoh 2

Tentukan suatu persamaan garis lurus melalui (3,2,1) dan sejajar dengan vektor (3i-2j+6k)!

Jawab :

Garis l yang melewati titik (3,2,1) sehingga dapat dituli a = ( 3i + 2j + k ). Terdapat titik B sehingga terbentuklah AB dimana AB sejajar dengan garis r , maka AB = t.r . Sehingga persamaan garis AB adalah

b = a + t.

(b₁,b₂,b₃) = ( 3,2,1 ) + t (3,-2,6)

Persamaan parametriknya adalah

b₁i + b₂j + b₃k = 3i + 2j + k + 3ti – 2tj + 6tk

b₁i + b₂j + b₃k = (3 + 3t)i + (2 – 2t )j + (1 + 6t)k

b₁= 3 +3t ,b₂= 2-2t,b₃= 1+6t

Contoh 3

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (3,0-5) dan sejajar dengan garis l dengan persamaan garis r = (2,1,-5) + (0,-5,1)t !

Jawab :

A = ( 3,0,-5 ) sejajar garis l dengan persamaan garis r = ( 2,1,-5 ) + ( 0,-5,1 ) t

r = ( 2,1,-5 ) + ( 0,-5,1 ) t dapat ditulis r = x + yt (lihat gambar)

Kita ketahui dari persamaan tersebut bahwa garis l sejajar dengan garis y, dan berdasarkan yang diketahui, garis l sejajar pula dengan garis k, artinya garis l sejajar pula dengan garis y sehingga persamaan garis yang melewati titik A dapat ditulis

r = A + yt

r = ( 3,0,-5 ) + ( 0,-5,1 ) t